«Лучшее развитие «мышцы» головного мозга»: как математика влияет на все сферы жизни

В этом выпуске подкаста «Расписание на послезавтра» говорим о математике. Мало кто из нас может вспомнить правила и формулы, изученные в школе, и тем более найти им применение в быту. Однако сами математики уверены: именно эта наука придумала правила, по которым живет современный мир.

Рассуждения о том, зачем нужна сложная математика в школах, особенно детям, которые в будущем хотят связать себя с гуманитарными науками, не новы. С одной стороны, приводятся аргументы о том, что часть нагрузки за счет отмены изучения логарифмов или других приемов алгебры и геометрии можно было бы снять с учеников. С другой — математика развивает логическое мышление и может пригодиться в будущем, если человек столкнется со сложными расчетами.

Сами математики убеждены, что их наука — база, на которой строится весь современный мир: без вычислений не было бы условной IT-сферы и большинства благ цивилизации.

Но, может быть, чем-то из мира математики хотя бы в школах действительно можно пожертвовать?

Обсуждаем с учителем математики физмат лицея №366 в Санкт-Петербурге Георгием Вольфсоном и руководителем кафедры математики и информатики гимназии Примакова Артемием Гладких.

Г.В.: Мне кажется, короткого ответа тут не предполагается. Но для меня, пожалуй, главное — это то, что решения мы обычно принимаем либо интуитивно, либо логически, и часто попадаем в такие контринтуитивные ситуации, когда нутро подсказывает что-то одно, но делать надо принципиально другое. Вот математика позволяет развить тот аппарат, который как раз и принимает эти другие, более правильные в некоторых ситуациях решения.

А.Г.: Я отвечу не как родитель, а как учитель математики. Мне кажется, что одна из моих задач — чтобы ребенок не задавал такой вопрос. Если учитель на протяжении всей своей педагогической карьеры, общения с учениками показывает эту связь математики с жизнью, зачем она вообще нужна детям, то такой вопрос в принципе не возникнет.

Кроме того, мне кажется, что сомнение в нужности математики сейчас появляется все-таки чуть реже, чем раньше, потому что со всех трибун, в телевизоре нам постоянно говорят, что она нужна, айтишники востребованы. Математика сейчас в почете.

Ну и, конечно, отвечая на вопрос, как вдохновить детей, нужно говорить так: математика нужна, может быть, не сейчас, но будет нужна, когда они повзрослеют, чтобы быть успешными в этой жизни.

Г.В.: Здесь есть два варианта ответа. Первый: существуют примеры, когда логарифмы действительно нужны. Я не могу сказать, что они необходимы каждому из нас и ежемоментно, но, например, когда вы занимаетесь программированием и говорите о сложных сортировках, где порядок времени, который вы потратите на сортировку массива из N-элементов, это N-логарифмов — вот там логарифмы нужно знать.

Второй пример: вот вы ходите в тренажерный зал, делаете там какое-то упражнение, например, ходите по беговой дорожке. На самом деле, сам по себе навык хождения по беговой дорожке вам не нужен, а нужны некоторые следствия этого умения. Точно так же и жим лежа штанги не нужен, а нужно развивать мышцы груди. Лучшего способа развить мышцы своего головного мозга, чем математика, пока еще не придумали. Поэтому речь тут не только о конкретных применениях — именно завтра вам понадобятся логарифмы, — а о том, какие нейронные связи у вас появились, когда вы занимались логарифмическими неравенствами в школе.

А.Г.: Я продолжу мысль Георгия. Действительно, в каждой науке существуют специфические вещи, которые применяются специфическими людьми. Речь не только про математику, но и про биологию, химию, физику — про что угодно. Наверняка не все знания из школьной химии мне пригодились в жизни в том виде, в каком их давали. Но речь идет про навыки и умения.

Еще мне бы хотелось отметить, что все-таки математика и ее применение развиваются. Конечно, без математики невозможно ни строительство мостов, ни домов — в общем, никакое проектирование. Но если говорить про IT, то там нужна немножко другая математика: теория вероятности и статистика. Так что, может быть, в школьной программе логарифмы и тригонометрия нужны не в таком объеме и нужно уступать место другим разделам. И тогда чуть понятнее станет для школьника, зачем это нужно.

А.Г.: В первую очередь, наверное, теория вероятности и статистика. Сейчас это везде, на слуху — те же большие данные.

А.Г.: Уже сейчас эти шаги сделаны, теория вероятности вполне себе внедряется в школьную программу. Я знаю, что Иван Ростиславович Высоцкий написал прекрасный учебник для 7-9 классов. В общем-то, уже во всех школах введен раздел по теории вероятности. Это отдельный предмет, на него полагается один час.

Г.В.: Да, я заканчивал математико-механический факультет СПбГУ. У меня нет педагогического образования. Более того, даже высшего не было, когда я изначально пошел работать. Но у меня было ощущение — оно осталось и сейчас, — что проще математику научиться каким-то конкретным педагогическим техникам, чем человеку, далекому от точных наук, но с педагогическим образованием, научиться математике. Это гораздо сложнее — плавать в этой сфере как рыба в воде.

Что касается того, каким должен быть учитель, например, должен ли он быть ученым — наверное, нет. Но, как правильно сказал Артемий, желательно представлять, чем сейчас занимается математика, где она применяется, на каком уровне. Как именно, допустим, телефон определяет вашу геопозицию. Это же в чистом виде стереометрическая задача, которая решается в 10 классе. И если учитель это понимает, он в каком-то смысле является практиком.

А.Г.: Я полностью соглашусь с Георгием. Мы набираем много учителей математики. Я сам, кстати, заканчивал не педагогический, а физико-технический факультет и после этого переподготовился на учителя, уже в процессе работы. Просто корочка нужна была. И у нас на кафедре больше половины учителей — это выпускники топовых математических вузов.

Я абсолютно поддерживаю идею, мысль про то, что учитель математики в первую очередь должен знать математику, а преподаванию он может научиться. Это можно сделать, уже непосредственно работая в школе. А вот выучить математику во взрослом состоянии значительно сложнее.

Если говорить про самосовершенствование, я бы здесь выделил два момента. Первый — это необходимость быть в форме по своему предмету. Георгий вот является неоднократным победителем математических олимпиад. Я четырежды сдавал ЕГЭ: один раз как ученик в 2011 году, потом трижды как учитель. Мне кажется, это как раз хорошие способы, чтобы оставаться в форме.

А к слову про профессиональное общение, есть прекрасный семинар Александра Давидовича Блинкова, который пройдет в Санкт-Петербурге. Там собирается много учителей математики, между ними происходит общение — не только в смысле математики, но и кулуарное, за чашечкой чая, в футбол еще играют. В общем, это очень полезно для учителей. Поэтому, конечно, нужно выходить за рамки своего кабинета.

Г.В.: Скорее просто есть некое сообщество, которое само выталкивает позитивные кадры на поверхность. Например, если в нашей питерской олимпиаде имени Леонарда Эйлера никому не известный учитель математики вдруг показывает достойный результат, то обычно на него обращают внимание. Его приглашают на тот же семинар для учителей математики в Петербурге, где с ним общаются. Потом его могут пригласить работать в какую-то школу из топ-5 города. Это такой социальный лифт.

То есть инициативы есть как сверху, так и снизу. Наши с Артемием активности часто идут просто от себя. Артемий в какой-то момент задумал замечательный семинар для учителей математики на базе гимназии имени Е. М. Примакова. И он не имел, насколько я помню, отношения к Московскому центру непрерывного математического образования (МЦНМО), это была просто хорошая личная инициатива, которую люди поддержали. Туда приехали серьезные лекторы и спикеры, люди пришли их послушать, познакомились друг с другом. Так оно друг за другом и цепляется.

А.Г.: Я отвечу с позиции руководителя кафедры. У нас именно руководитель кафедры занимается набором персонала. Конечно, у нас есть HR-отдел, есть директор, который проводит финальное собеседование, но все-таки мне кажется, что это больше моя задача — найти учителя математики, который будет работать на кафедру.

Количество хороших математиков в принципе ограничено. Тусовка очень небольшая, все мы между собой знакомы. Но, как правильно сказал Георгий, периодически возникают новые люди, новые личности, их очень быстро замечают. Поэтому в той или иной степени нужно заниматься выращиванием новых кадров. Мы практикуем хедхантерство, но также у нас есть программа, на которую мы приглашаем студентов, работаем с ними, они ходят на наши уроки, мы их обучаем и надеемся, что рано или поздно это даст результат.

Гимназия существует всего шестой год. Кстати, в этом году к нам впервые вернулся наш выпускник, который закончил физфак МГУ имени М.В. Ломоносова, и сейчас он учитель физики. Мне кажется, что это тоже правильная история. И во многих математических школах, где они работают чуть больше шести лет, это нормальная практика.

Г.В.: В то же время, если взять тот самый семинар Александра Давидовича Блинкова, про который много сейчас говорят, на котором больше ста человек, и опросить, сколько из них являются выпускниками педагогического вуза, я подозреваю, что мы получим меньше 50% от общего числа.

А.Г.: Это будет цифра не около нуля, но все же меньше 50%. Поэтому количество выпускников педагогического вуза — это, безусловно, важное число, но не менее важно количество выпускников мехмата, матмеха и других хороших вузов, которые не побоялись вообще пойти в школу.

Г.В.: Для этого есть несколько способов. Во-первых, сейчас открываются педагогические магистратуры. В ВШЭ, насколько я знаю, есть, где как раз Александр Давидович Блинков присутствует, и он там влюбляет студентов в преподавание. А так, мне кажется, чаще всего это свой опыт. Если у тебя в школе был классный учитель математики, ты видишь, что он успешен, что ему это интересно, у него глаза горят, тебе самому хочется стать таким же. Ты пытаешься в каком-то смысле повторить его путь.

Я именно так попал в профессию: у меня был учитель математики Вадим Анатольевич Гордич, который работает до сих пор. Я до сих пор стараюсь быть похожим на него, и я пришел в школу, видя, как это может быть классно.

А.Г.: Я соглашусь. Личный пример. Я тоже заканчивал математическую школу. Мы недавно встречались с одноклассниками — у нас почти полкласса пошло в преподавание, представляете? Это очень здорово, когда ребята, которые получили хорошие знания по математике, потом возвращаются в школу. Но это и про возвращение в свою школу в том числе. То есть, как я сказал, работать со студентами, со своими собственными выпускниками –— это очень важное направление.

Г.В.: Мне кажется, в идеале родители хоть немножко следят за интересами ребенка. Если вы видите, что он испытывает удовольствие от жонглирования цифрами и числами, возможно, именно в эту сторону стоит копать и давать ему больше, подкидывать в эту топку. Начинать сразу думать, что ему через 6 лет надо поступать в какую-нибудь школу типа 57-ой, а потом на мехмат, поэтому уже сейчас давайте-ка я его запихну в кружок, — это совершенно неэффективная штука, которая скорее вызовет отвращение у ребенка.

Кроме всего прочего, желательно, чтобы родители или учителя, к которым они неравнодушны, показывали ребенку, что математика — это не только 2+8, в уме умножить 13 на 12, вычислить проценты или сложить дроби, ведь это скучно. Когда выясняется, что там все шире, когда ты решаешь задачи походя, в духе: вот ты идешь, стоят фонари, они пронумерованы от 1 до 10, и расстояние между соседними 10 метров. Какое расстояние от первого до последнего? Ты просто идешь по улице, обсуждаешь это с ребенком, а он тебе говорит: «Ну, понятно же, 10 умножить на 10, 100». А потом смотрите – нет, 90. И вот это, мне кажется, прививает ту самую любовь к предмету и снимает вопросы, зачем оно надо.

А.Г.: Я однажды присутствовал на встрече, где Александр Кириллович Ковальджи из лицея «Вторая школа» имени В.Ф. Овчинникова отвечал на вопросы родителей. Один из них рассказывал: «У меня сын в шестом классе. Я его все тащу на олимпиады по математике, а ему не нравится. Я не понимаю, как ему привить любовь к математике». Ответ Александра Кирилловича мне понравился, я даже его запомнил: «Вообще-то, если ребенку нравится математика, его не надо заставлять ею заниматься».

В осознанном возрасте, в пятом-шестом классе, если у ребенка не получается, может, и не надо его тащить в математическую школу и заставлять участвовать в соревнованиях. Для меня это всегда было в кайф, мы с братьями постоянно ходили на олимпиады и даже не задавались вопросом зачем — не ради призов, а просто интересное времяпрепровождение, я бы сказал.

Математика действительно окружает нас с самого детства. Родители иногда в начальную школу приходят и говорят: «Почему-то у меня ребенок, как только пошел в школу, перестал любить математику«. Возникает вопрос: какая математика была в жизни ребенка до школы? Какую математику он любил? Что, собственно, родители сделали для того, чтобы он вообще познакомился с математикой? Понятно, что дети с рождения играют в фигурки, это тоже в какой-то степени математика. Они учатся считать. У меня старший сын научился считать даже раньше, чем говорить. Он показывал на пальцы, умел считать до 10 и отвечал на какие-то вопросы еще до того, как заговорил.

Георгий правильно сказал, что очень важно обсуждать с ребенком разные вещи и показывать, что математика — это и про логические рассуждения. Мы смотрим на картинку, а там нарисован гараж. Я говорю: «Как ты думаешь, гараж, который нарисован на картинке, больше, чем комната, в которой мы находимся? А машина в него поместится?» И так далее. Кто быстрее, какова высота дерева, что выше: дом, в котором мы сидим, дачный домик или дерево? А почему? А кто быстрее: ракета или машина? Такие вопросы подталкивают ребенка на логические рассуждения.

И этим можно заниматься с очень раннего возраста. Как только ребенок научился коммуницировать, какие-то логические рассуждения у него появились, уже можно начинать. Все это — про математику, а не только 2 + 8 и 7 х 2.

Г.В.: Корреляция между успехами в шахматах и в математике есть, безусловно. Но говорить, что именно шахматы помогают в математике, я бы не стал. Тут скорее фишка в том, что родители, которые отправляют ребенка в шахматный кружок, чаще всего пихают его еще и в математический. Поэтому он чаще успешен и там, и там. При этом, я подозреваю, если вы замените шахматы спортивным бриджем, принципиально ничего не изменится. Это может быть любая настольная игра, хоть «Монополия». Если ребенок учится логически мыслить на приятных ему примерах, это поможет ему и на уроках математики — так он станет более успешным. И наоборот: если ребенок силен в математике и в логических рассуждениях, возможно, он чуть лучше играет в шахматы.

Г.В.: Во время пандемии я организовал курс, который назывался несколько провокационно: «Математика 18+», где 18+ относилось только к возрасту слушателей. Мы там выясняли, что математика бывает интересной. Я показывал этот предмет с другой стороны, рассказывал, что гуманитарии — это не те, кто не знает математику, а те, кому не повезло с учителем в школе. В принципе, все можно наверстать, увидеть в этом свой кайф. Конечно, мы там не складывали дроби и не вычисляли логарифмы произведения, но многие родители уходили оттуда с пониманием, что вот этим и надо заниматься с детьми, сами начинали хотеть на какой-нибудь заочный кружок записаться.

А.Г.: Главное, если родители не любят математику, не надо говорить об этом детям каждый день: «Вот ты пойдешь в школу, там будет математика, это самый ужасный предмет», то есть не транслировать на детей свое отношение к ней. Во взрослом возрасте сложнее научиться математике, полюбить ее, чем в школе. Это должно происходить с помощью горящих учителей.

Г.В.: Мне нравится ассоциация с оборотом тетради, где вы на нее смотрели и запоминали. Если таблицу умножения распечатать крупным шрифтом и себе на стенку повесить над кроватью или на холодильник, запомнить будет проще.

Многие под таблицей умножения понимают множество строчек в стиле 1 х 2 = 2, 2 х 3 = 6, 5 х 7 = 35. Лучше ее запоминать не так, а в квадратном виде, где по горизонтали и по вертикали указаны числа от одного до девяти. Глядя на эту таблицу, дети видят много интересных вещей. Например, что число 18 повторяется несколько раз. Где оно повторяется? 2 х 9 и 9 х 2. Ага, уже от перестановки множителей произведение не меняется. А 3 х 6, оказывается, тоже 18 — проще запоминать.

Ну и до кучи можно это разбавить какими-нибудь забавными финтифлюшками. Например, как умножать цифры на девять. Я думаю, про пальчиковый опыт многие знают.

Г.В.: Если ребенок достаточно успешен в школе, то с ЕГЭ у него проблем обычно не бывает. Понятно, что у кого-то цель сдать ЕГЭ на 100 баллов и никак иначе. Это уже, мне кажется, лотерея. Профильный ЕГЭ на 100 баллов даже не все сильные учителя сдадут — не потому, что они слабые, а просто потому что это вопрос удачи, насколько ты попадешь в нужную тему.

Что касается ребенка, который никогда особо не был успешен в математике, конечно, ему будет сложно. В то же время, даже если он будет просто слушать учителя, заниматься на уроках, то базовый ЕГЭ он сдаст железно. Там вообще ничего сложного нет. Пятиклассникам пробовали давать базовый ЕГЭ, и они на нужный результат сдавали в свое время.

Что касается подготовки, понятно, что с репетитором проще. Но мне кажется, если ребенок не настроен конкретно на 100 баллов, а ему нужно просто нормально сдать, то для этого подойдет недорогой студент, который хорошо знает, сам недавно сдавал этот предмет и баллов до 60-70 почти любого ученика можно поднять.

А.Г.: Я согласен, что если ребенок успешен в математике, он учится в математической школе, то не требуется специальная подготовка к ЕГЭ. Если ребенок — победитель разных олимпиад хорошего уровня, то ему к экзамену можно готовиться последний месяц, посмотреть формат, как это происходит. Нас в школе к ЕГЭ практически не готовили, но все более-менее успешно сдали. Подготовка просто не требовалась, потому что знания и так были.

Базовый ЕГЭ действительно проще, чем ОГЭ. Если ребенок сдает ОГЭ в 9 классе и переходит в 10 класс, то у него не должно быть проблем с базовым ЕГЭ. Понятно, что там появляются новые задачи, новые темы, но по уровню он проще. И часто после 10 класса дети сдают базовый ЕГЭ.

Если ребенок учится в общеобразовательной школе, сдавать профильный ЕГЭ на высокие баллы сложно. Особенно если он никогда не изучал математику на хорошем уровне, не участвовал в олимпиадах, для него этот предмет не была основной целью. Но сейчас есть очень много бесплатных ресурсов, не обязательно нанимать репетитора, ведь в наши дни он уже не обладает уникальными знаниями. Все можно найти в интернете. А репетитор — это скорее про самоорганизацию, про то, что он пропускает информацию через себя и выдает ее в сжатом виде. Поэтому, если ребенок самоорганизован, если он умеет учиться самостоятельно, то ему в принципе репетитор не нужен. Но если ребенка нужно все время стимулировать, ему нужна структура подготовки, он не может создать ее сам, тогда, конечно, нужен внешний стимул. Это не обязательно должен быть репетитор, это может быть мама или папа. Но мне кажется, бесплатных ресурсов сейчас очень много, так что вполне можно подготовиться самостоятельно.

А.Г.: Наверное, в младшем возрасте нужно участвовать всем, просто чтобы понять, насколько это интересно. Кстати, в младших классах — с четвертого по шестой — олимпиады часто проходят не в традиционном виде, когда дети садятся и решают пять или шесть сложных задач за четыре часа, а в игровом формате. Это гораздо веселее.

Сейчас проходил в онлайн-формате большой известный турнир имени Н.Г. Чеботарева. Принять участие в нем очень просто — надо найти площадку как раз для четвертых-седьмых классов. Но если вы видите, что шаг за шагом ребенку не доставляет удовольствия принимать участие в олимпиадах, ему это не нравится, он идет туда через силу, наверное, это не для него и нужно искать другие пути развития. Не надо заставлять его заниматься математикой, если ему не нравится. Это ни к чему хорошему не приведет.

Г.В.: Недаром олимпиада для младших школьников, одна из самых популярных в нашей стране, так и называется — «Математический праздник». Многие дети приходят с нее с очень позитивными эмоциями, с ощущением, что у них что-то получилось. Как раз влюбиться в математику можно и там.

Г.В.: Я только что приехал с лекции по искусственному интеллекту ChatGPT. Поэтому тяжелая артиллерия будет чуть позже.

А.Г.: Тогда я по-простому. Во-первых, с ChatGPT происходили не только скандалы, но и польза есть в этом изобретении. Когда говорят про скандалы, наверное, речь идет про списывание, что теперь можно решить любую задачку, ребенку теперь совсем просто сделать любое домашнее задание.

Задачки еще бывают условно уникальные, но теперь и их можно решать. На самом деле, достаточно давно существует приложение Photomath, которое решает большинство задач по математике. Оно не очень хорошо решает текстовые упражнения, но логарифмические неравенства, причем даже достаточно сложные, — это все решается.

В этом случае, наверное, нужно говорить со школьниками об ответственности, зачем это нужно. Списать же не проблема, и раньше — 20-30 лет назад — ее не было. Когда я учился, списать тоже можно было. Просто ГДЗ мы покупали в виде книг. Так что лучше говорить с детьми об ответственности, о том, зачем им это нужно.

У меня сейчас 10 класс, и я иногда им даю задание с сайта «Решу ЕГЭ», даже оставляю номер варианта. То есть они могут зайти на сайт, посмотреть, правильные ли у них ответы, даже почитать решения. И вроде ничего в этом плохого нет. Мне кажется, наоборот, они снимают с меня часть нагрузки. То есть если они дома прорешают задачи, потом сверят ответы, увидят, что где-то они ошиблись по глупости, может быть, даже посмотрят решение и поймут, в чем была ошибка, — тогда они придут ко мне уже более подготовленные. Поэтому в этом смысле я не вижу глобальных проблем. Нужно просто говорить с детьми об ответственности.

Я не особо инновационный учитель и пока не придумал, как можно использовать ИИ в образовании. Хотя, конечно, возможностей много. Понятно, что это будет как-то трансформировать всю отрасль. Мне кажется, это еще одна история про то, зачем учить математику. Ведь общение с ChatGPT абсолютно логическое. Ему нужно задавать команды. Именно формат общения с ним — это чистая математика. Чтобы его понимать, общаться с ним на одном языке, нужно иметь очень хорошую логическую структуру.

Г.В.: Мы с вами живем в очень интересное время. Как 20-30 лет назад появлялся интернет, так и сейчас люди привыкают к тому, что теперь почти любую информацию можно найти, не ходя в библиотеку. До этого появились калькуляторы, и люди приспосабливались, что можно не пользоваться алгоритмической линейкой или вычислениями в столбик, а можно просто три кнопки нажать. Так же и сейчас появился еще один, более мощный инструмент.

Но он, мне кажется, заострил внимание на одной очень важной проблеме. Я бы все задания, которые делают дети у нас на уроках, разделил на упражнения и задачи. Упражнения — это такие искусственные штуки, которые позволяют отработать конкретный алгоритмизуемый навык: найти наибольший общий делитель, или перемножить два числа, или решить простейшее уравнение. А вот задача — это что-то достаточно нестандартное, где надо погрузиться, придумать что-то новое и так далее.

И вот с упражнениями ChatGPT справляется на ура. И то, кстати, иногда ошибается, поэтому полезно уметь отлавливать эти ошибки. Но вот с задачами он пока что не справляется. Если ребенку объяснить, что упражнение он может списать, это ладно, но задачу ИИ за него не решит. Поэтому нужно учиться именно ставить и решать задачи. Вот это потом пригодится по жизни. В этом плане ChatGPT можно сказать только спасибо.